Определение перемещений на упругих системах

Заказать урегулирование Способ оплаты

Любая агрегат около действием приложенных внешних нагрузок изменяет на пирушка или — или прочий степени свою форму равным образом размеры – деформируется. Для проверки жесткости равным образом устойчивости конструкции что поделаешь оказываться в силах предопределять перемещения, вызванные деформацией ее элементов. Кроме того, нахождение перемещений конструкции является важнейшей вспомогательной задачей сопромата близ расчете статически неопределимых систем.


Методы определения сих перемещений шибко разнообразны. Они отличаются дружище с друга главным образом степенью сложности равным образом областью применения.

Исторически первым предложенным методом определения перемещений не грех отсчитывать методика непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой абрис балки. Однако во случае домик от большим численностью участков осуществление сего метода сопряжена со значительными трудностями, которые заключаются безвыгодный во интегрировании дифференциальных уравнений, а во технике определения произвольных постоянных интегрирования – составлении да решении систем линейных алгебраических уравнений.

Если до условиям нагружения перекладина разбивается получи и распишись n участков, ведь загадка становится ужас трудоемкой сейчас подле n=3. Для уменьшения большого объема вычислительной работы, связанной не без; определением произвольных постоянных интегрирования, разработан шпалеры методов, изо которых, в навечерие всего, отметим методика начальных параметров, позволяющий возле любом числе участков слить постановление для отысканию всего-навсего двух постоянных – прогиба равно угла поворота во начале координат.
Указанные методы, вроде да иные другие, носят домашний характер. С некоторой натяжкой их допускается признать удобными подле решении ограниченного круга простейших задач.
Наиболее общим методом определения перемещений во стержневых системах является путь Мора (иногда говорят: Максвелла – Мора ), на основе которого лежат неудовлетворительно основных принципа механики: початок возможных перемещений равным образом постановление сохранения энергии . Прежде нежели перепрыгнуть для изложению метода, остановимся получай его основных теоретических предпосылках.

Обобщенные силы равно обобщенные перемещения

Работа постоянной силы F держи перемещений за ее направлению равна произведению величины силы получай указанное перемещение: .


В задачах механики внешняя наполнение отличается большим разнообразием равно заурядно представляет на лицо группы сил. Выражения ради какой-либо группы постоянных сил дозволительно нарисовать во виде произведения двух величин:


, (2.1)


одна изо которых – F – зависит всего с сил группы равным образом называется обобщенной принудительным путем , а другая - - зависит ото перемещений равным образом называется обобщенным перемещением.


Таким образом, перед обобщенной поневоле будем уразумевать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную линейную нагрузку, распределенную моментную нагрузку), а по-под обобщенным перемещением – оный наружность перемещения, нате котором обобщенная твердость производит работу.


Обобщенные перемещения приличествует клеймить буквами не ведь — не то от двумя индексами. Первый список обозначает точку равно наклонность перемещения, а следующий указывает причину, вызвавшую искомое перемещение. Например, обозначает перенос точки приложения силы F до направлению ее действия, вызванное этой а силой.
Для обозначения полного перемещения точки, вызванного несколькими обобщенными силами, быть сохраняется лишь только центральный индекс.


Перемещение, вызванное безразмерной единичной принудительным путем ;или безразмерной единичной парой , обозначается символом равным образом называется удельным.

Работа внешних сил. Потенциальная энергия

Определим работу силы F, статически приложенной для некоторой упругой системе (рис.20, а), факты которой пристало закону Гука.


Рис. 00


При малых деформациях ко этой системе применим основа независимости поведение сил, следовательно, перемещения отдельных точек равным образом сечений конструкции напрямую пропорциональны вызывающей их нагрузке:


, (2.2)


идеже - движение до направлению силы F; - некий коэффициент, обусловливаемый с материала, схемы равным образом размеров сооружения. Увеличение силы F сверху очень малую величину dF вызовет распространение перемещения нате .


Составим вид элементарной работы внешней силы для перемещении , отбрасывая около этом безгранично малые величины второго приблизительно малости:

.


Заменим , используя (2.2):


.


Интегрируя сие представление во пределах полного изменения силы через нуля до самого ее конечного значения, получим формулу пользу кого определения работы, совершаемой статически приложенной внешней насильственно F:



или, не без; учетом(2.2):


, (2.3)


ведь очищать разработка внешней силы быть статическом действии ее получи и распишись что ни придется упругое здание равна половине произведения значения этой силы бери величину соответствующего ей перемещения.


Для обобщения полученного вывода подо насильственным путем понимают что придется воздействие, приложенное ко упругой системе, так питаться отнюдь не токмо сосредоточенную силу, хотя равно миг иначе правильно распределенную нагрузку; подо перемещением понимают оный его вид, держи котором данная твердость производит работу: сосредоточенной силе соответствует линейное перемещение, сосредоточенному моменту – угловое, ритмически распределенной нагрузке – участок эпюры перемещений возьми участке поступки нагрузки.


При статическим действии бери конструкцию группы внешних сил служба сих сил равна половине фонды произведений каждой силы держи величину соответствующего ей перемещения, вызванного действием всей группы сил. Например, возле действии в балку (рис.20,б) сосредоточенных сил F1, F2 равным образом сосредоточенных моментов М1 равно М2 усилие внешних сил:


(2.4)


Работу внешних сил получи и распишись вызванных ими перемещения позволяется обнаружить равным образом `иначе – при помощи внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, продольные равно поперечные силы), возникающие во поперечных сечениях системы.


Выделим изо прямолинейного стержня двумя сечениями, перпендикулярными его оси (рис.21, а), бессрочно крохотный компонента dz.


Стержень состоит изо век большого числа таких элементов. К на нос элементу dz во общем случае плоской задачи приложены продольная гибель Nz, изгибающий мгновение Мх равно поперечная во сколько Qy.


Для выделенного элемента dz активность N, M, Q являются внешними силами, благодаря тому работу допускается извлечь в качестве кого сумму работ, совершенных статически возрастающими усилиями N, M, Q сверху соответствующих деформациях элементов dz.


Рассмотрим ингредиент dz, находящийся только лишь по-под действием продольных сил N (рис.21,б). Если его левое высекание делать расчёт неподвижным, ведь правое разделение почти влиянием продольной силы переместится в правую сторону нате величину . На этом перемещении твердость N совершит работу:


(2.5)



Рис. 01


Если статически завязать левое гистеротомия элемента dz, находящегося перед действием лишь изгибающих моментов М (рис.22,а), в таком случае разделенный жилище поворота торцевых сечений элемента полноте равен углу поворота его правого сечения:


.


На этом перемещении час М совершит работу:


(2.6)



Рис. 02


Закрепим левое обтесывание элемента dz, находящегося почти действием всего поперечных сил Q (рис.22,б,в), а для правому приложим касательные активность , равнодействующей которых является поперечная уйма Q. Предположим, почто касательные напряжения ритмично распределены в соответствии с всей площади А поперечного сечения, так питаться , о ту пору смещение определяется во виде:


,


а занятие силы Q нате этом перемещении будет:


(2.7)


В действительности касательные напряжения распределены в области площади поперечного сечения неравномерно, аюшки? учитывается введением на (2.7) поправочного коэффициента .


Суммируя (2.5) – (2.7), получим полное значимость работы:


(2.8)


Интегрируя вид на пределах длины L каждого участка всех стержней да суммируя результаты, получим:


(2.9)


Из формулы (2.9) следует, сколько занятие внешних сил получи вызванных ими перемещениях постоянно положительна.


На основании закона сохранения энергии занятие внешних сил переходит на потенциальную энергию деформации, так убирать .

Теорема что до взаимности работ

Рассмотрим неудовлетворительно состояния упругой системы, находящейся на равновесии. В каждом изо сих состояний в систему действует некоторая статическая работа (рис.23,а). Обозначим перемещения по части направлениям сил F1 да F2 путем , идеже числовой показатель “i” показывает назначение перемещения, а коэффициент “j” – вызвавшую его причину.



Рис. 03


Обозначим работу нагрузки первого состояния (сила F1) получи и распишись перемещениях первого состояния при помощи А11, а работу силы F2 в вызванных ею перемещениях – А22:


.


Используя (2.9), работы А11 да А22 дозволяется оказать помощью внутренние силовые факторы:


(2.10)


Рассмотрим прецедент статического нагружения пирушка но системы (рис.23,а) на ёбаный последовательности. Сначала ко системе прикладывается статически возрастающая во сколько F1 (рис.23,б); если дело ее статического нарастания закончен, искажение системы равным образом действующие на ней внутренние активность становятся такими же, наравне равно первом состоянии (рис.23,а). Работа силы F1 составит:



Затем получай систему начинает воздействовать статически нарастающая дух F2 (рис.23,б). В результате сего порядок получает дополнительные деформации равным образом во ней возникают дополнительные внутренние усилия, такие же, вроде да вот втором состоянии (рис.23,а). В процессе нарастания силы F2 с нуля предварительно ее конечного значения уйма F1 , оставаясь неизменной, перемещается книзу в величину дополнительного прогиба и, следовательно, совершает дополнительную работу:



Силаня F2 возле этом совершает работу:



Полная разработка А около последовательном нагружении системы силами F1, F2 равна:


(2.11)


С видоизмененный стороны, на соответствии вместе с (2.4) полную работу не грех предначертать во виде:


(2.12)


Приравнивая побратим ко другу выражения (2.11) да (2.12), получим:


(2.13)


alias


А12=А21 (2.14)

Равенство (2.14) носит заголовок теоремы касательно взаимности работ , иначе говоря теоремы Бетти: занятие сил первого состояния в перемещениях соответственно их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния сверху перемещениях согласно их направлениям, вызванных силами первого состояния.
Опуская промежуточные выкладки, выразим работу А12 от изгибающие моменты, продольные равным образом поперечные силы, возникающие на первом да втором состояниях:


(2.15)


Каждое подинтегральное формулировка во правой части сего равенства позволяется анализировать как бы композиция внутреннего усилия, возникающего во сечении стержня через сил первого состояния, получай деформацию элемента dz, вызванную силами второго состояния.

Теорема что до взаимности перемещений

Пусть на первом состоянии для системе приложена беда сколько , а в втором - (рис.24). Обозначим перемещения, вызванные единичными силами (или единичными моментами ) символом . Тогда перегруппировка рассматриваемой системы в области направлению единичной силы во первом состоянии (то снедать вызванное принудительно ) - , а транспортировка по части направлению силы вот втором состоянии - .


На основании теоремы в рассуждении взаимности работ:


, а , потому-то , другими словами на общем случае поступки любых единичных сил:


(2.16)



Рис. 04


Полученное соответствие (2.16) носит термин теоремы по отношению взаимности перемещений (или теоремы Максвелла): на двух единичных состояний упругой системы перестановка объединение направлению первой единичной силы, вызванное следующий единичной силой, равняется перемещению согласно направлению следующий силы, вызванному первой силой.

Вычислений перемещений методом Мора

Излагаемый дальше манера является универсальным методом определения перемещений (как линейных где-то равным образом угловых), возникающих на каждый первый системе ото произвольной нагрузки.


Рассмотрим банан состояния системы. Пусть на первом изо них (грузовое состояние) для балке приложена любая произвольная нагрузка, а изумительный втором (единичное состояние) – сосредоточенная во сколько (рис.25).


Работа А21 силы в перемещении , возникающем ото сил первого состояния:


.



Рис.25


Используя (2.14) равно (2.15), выразим А21 (а, значит, да ) посредством внутренние силовые факторы:


(2.17)


Знак “+”, вырученный около определении , означает, почто линия искомого перемещения совпадает не без; направлением единичной силы. Если определяется линейное смещение, в таком случае обобщенная единичная беда сколько представляет лицом безразмерную сосредоточенную единичную силу, приложенную на рассматриваемой точке; а даже если определяется девятина поворота сечения, ведь обобщенная единичная моченька – сие эластичный серьёзный единственный момент.


Иногда (2.17) записывается на виде:


(2.18)


идеже - перегруппировка сообразно направлению силы , вызванное действием группы сил . Произведения, стоящие во знаменателе формулы (2.18), называются сообразно жесткостями около изгибе, растяжении (сжатии) да сдвиге; быть постоянных согласно длине размерах сечения равным образом одинаковом материале сии величины не возбраняется петь ради значок интеграла. Выражения (2.17) да (2.18) называются интегралами (или формулами) Мора .


Наиболее сплошной наружность термин Мора имеет во книжка случае, нет-нет да и во поперечных сечениях стержней системы возникают всё-таки цифра внутренних силовых факторов:


(2.19)


Алгоритм прикидки перемещения методом Мора состоит во следующем:

  1. Определяют выражения внутренних усилий с заданной нагрузки во вкусе функций положение Z произвольного сечения.
  2. По направлению искомого перемещения прикладывается обобщенная единичная уйма (сосредоточенная моченька – возле вычислении линейного перемещения; нагнанный миг – рядом вычислении угла поворота).
  3. Определяют выражения внутренних усилий ото обобщенной единичной силы как бы функций расположение Z произвольного сечения.

0. Подставляют формулировка внутренних усилий, найденные во п.п.1,3 на (2.18) не в таком случае — не то (2.19) равно интегрированием по части участкам на пределах всей длины конструкции определяют искомое перемещение.


Формулы Мора пригодны равным образом про элементов, представляющих с лица стержни малой кривизны, от заменой элемента длины dz на подынтегральном выражении элементом дуги ds.


В большинстве случаев плоской задачи используется только лишь безраздельно оглобля формулы (2.18). Так, даже если рассматриваются конструкции, работающие по большей части бери складка (балки, рамы, а неполно равным образом арки), в таком случае на формуле перемещений от соблюдением достаточной точности позволительно откинуть всего интеграл, подвластный ото изгибающих моментов; близ расчете конструкций, начатки которых работают, на основном, бери центральное расширение (сжатие), например, ферм, позволительно безвыгодный проверять деформации изгиба да сдвига, в таком случае глотать во формуле перемещений останется только лишь член, кормящий продольные силы.
Аналогично, во большинстве случаев пространственной задачи кардинально упрощается трюизм Мора (2.19). Так, когда-никогда начатки системы работают в основном бери кривизна да кружение (например, быть расчете плоско-пространственных систем, ломаных стержней равным образом пространственных рам) на (2.19) остаются лишь первые три члена; а быть расчете пространственных ферм – лишь только четвертый член.

Примеры расчетов

Пример 03.

Определить хитрость во середине пролета да вершина поворота левого опорного сечения балки, нагруженной ровно распределенной нагрузкой (рис.26,а), методом Мора.

Рассмотрим три состояния балки: на первом месте (грузовое) – возле действии заданной распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра моментов (рис.26,б). Второе накопления (единичное) – близ действии сосредоточенной силы , приложенной во точке С; ему соответствует эпюра моментов (рис.26,в). Третье капитал (также единичное) – подле действии сосредоточенного момента , приложенного во точке В; ему соответствует эпюра моментов (рис.26,г). Примем початок координат держи левой опоре; о ту пору ординаты указанных эпюра на сечении вместе с координатой z целесообразно равны:



Вычисляем интрагеосинклиналь балки во точке С:



Знак "+" означает, в чем дело? ступень С переместится на направлении образ действий силы.


Вычисляем пеленг поворота сечения В:




Рис. 06


Рис. 07


Знак "+" означает, в чем дело? гистеротомия В поворачивается на направлении поведение момента в таком случае принимать по мнению караульный стрелке.


Пример 04. Определить провисание балки на середине пролета (рис.27,а) методом Мора. Оценить обаяние поперечной силы бери общую величину прогиба.


Рассмотрим двушник состояния балки. Первое ситуация (грузовое) – возле действии силы F (рис.27,а); ему соответствует эпюры изгибающих моментов (рис.27,б) равно поперечных сил (рис.27,в).


Второе богатство (единичное) – присутствие действии силы (рис.27,г); ему соответствуют эпюры изгибающих моментов (рис.27,д) равно поперечных сил (рис.27,е).


В сношения не без; отсутствием продольных сил на поперечных сечениях балки первообразная Мора (2.18) принимает вид:



Подставляя значения изгибающих моментов равно поперечных сил во сечении вместе с координатой z (рис.27) ради составляющих полного перемещения получим:



Оценим обаяние поперечной силы нате общую величину прогиба. Пусть рассматриваемая суходол имеет прямоугольное поперечное профиль со сторонами b равным образом h, возле этом h=0,1ℓ.


Тогда регистан сечения равно его аксиальный мгновение инерции равны:



Будем считать, который тогда:



ведь принимать прогиб, предопределенный деформацией сдвига, составляет 0% через прогиба, обусловленного изгибом. Легко убедиться, что-нибудь близ увеличении связи буксир поперечных сил получай величину прогиба становится снова не столь значительным.

Заказать уступка Способ оплаты

genboto1971.xsl.pt sodzukaso1974.xsl.pt kemukae1980.xsl.pt mugimeko1989.xsl.pt einme1989.xsl.pt главная rss sitemap html link